Algebraic topology: knots links and braids
2 months ago
- #knot-theory
- #topology
- #mathematics
- 纽结是欧几里得三维空间（E(3)）中的简单闭合曲线，若存在一个保持方向的同胚映射将一个纽结映射为另一个，则称这两个纽结等价。
- 肖恩弗利斯在1908年证明：平面（E(2)）中简单闭合曲线到单位圆（S(1)）的同胚映射可扩展到整个平面，但该结论在高维不成立。
- 三维空间中存在野生嵌入现象，例如亚历山大角球和安托万项链，其补空间不是单连通的。
- 为避免野生行为，纽结通常被研究为驯顺嵌入，例如简单闭合多边形曲线。
- 纽结图是向二维平面的投影，并标注上下交叉信息，足以重构纽结的等价类。
- 雷德迈斯特移动定义了纽结图间的等价关系：若两个图能通过这些移动相互转换，则代表同一纽结。
- 平凡结（unknot）是唯一不存在交叉点的纽结图所对应的纽结。
- 纽结合成指按顺序连接两个有向纽结，平凡结在此运算中充当零元。
- 若一个纽结不能表示为两个非平凡纽结的和，则称其为素纽结，且每个纽结具有唯一的素分解。
- 赛弗特曲面用于定义纽结的亏格，该性质在合成运算下具有可加性，且仅平凡结的亏格为零。
- 交错纽结的投影图满足交叉点上下交替出现，大部分不超过8个交叉点的素纽结都属于此类。
- 纽结不变量（如补空间的基本群或琼斯多项式）可用于区分不等价的纽结。
- 链环是多个不相交纽结的并集，平凡链环的补空间具有自由基本群。
- 辫子是三维空间中若干弧线的集合，辫群B(n)由满足特定关系的初等辫子生成。
- 亚历山大定理断言：每个链环都等价于通过端点闭合某个辫子得到的结构。