Volume to Area ratio for Regular Solids
2 days ago
- 球体的体积与表面积之比为 V/A = r/3，其中 r 是半径。
- 对于所有正多面体，当 r 为内切球半径时，该比值 r/3 同样成立。
- 对于边长为 a 的立方体，r = a/2，体积为 8r³，表面积为 24r²，比值为 r/3。
- 其他正多面体（四面体、八面体、十二面体、二十面体）具有更复杂的关系，但仍得出比值 r/3。
- 证明：从每个面到中心形成棱锥，体积 = fB r/3，表面积 = fB，从而比值为 r/3。
- 该定理推广到 n 维：n 维体积与 (n-1) 维边界体积之比为 r/n。
- 体积对 r 的导数为表面积，这是一个经典关系。