2 days ago
- 椭圆型偏微分方程在图形学和工程中至关重要，但在复杂几何上求解困难；传统离散化方法（有限元法/有限差分法）需要繁重的网格生成，而无网格蒙特卡洛方法（沃克-萨姆方法/沃克-斯托克斯方法）则存在长随机游走和高方差的问题，尤其在处理诺伊曼边界时。
- 提出的混合方法结合了蒙特卡洛的几何灵活性与确定性全局求解，将区域分解为规则子域，并使用蒙特卡洛估计局部首次通过解算子（泊松核），同时控制游走长度。
- 局部算子被组装成稀疏全局系统，通过确定性方法求解，替代离散随机游走，将随机方差转换为固定的离散化偏差，从而得到稳定且可复用的解算子。
- 通过区域分解（划分为小块）缩短游走，并借助吸收马尔可夫链耦合各小块，实现界面值的确定性高效求解，随后利用预计算算子进行并行内部重构。
- 该方法能适应几何复杂性（仅需估计与几何交叠的小块），允许在蒙特卡洛计算量与全局求解规模之间灵活调整，并支持针对几何变化的高效重新求解。
- 该方法调和了无网格蒙特卡洛与基于网格的求解器，在保持几何灵活性的同时利用确定性方法的快速收敛性，并具有进一步推广至其他偏微分方程和边界条件的潜力。