10 hours ago
- 函数是一种机器，它将每个输入映射到唯一一个输出，可以想象成移动数轴上的每一个点。
- 如果一个函数没有碰撞（两个输入映射到同一输出）且没有间隙（没有输入的输出），则它是可逆的，即存在逆函数。
- 多项式是仅由加法和乘法构建的机器，是最简单且可具体检验的函数。
- 平面映射使用两个多项式规则移动平面上的每一个点；如果其雅可比行列式（局部面积因子）处处非零，则该映射是可逆的。
- 局部可逆性（雅可比处处非零）并不能保证全局可逆性；碰撞可能发生在遥远的点之间，而局部显微镜无法察觉。
- 雅可比猜想提出：如果一个多项式映射的局部面积因子处处为常数且非零，那么它是否必然存在多项式逆映射从而实现全局可逆？
- 这个猜想在87年内未被解决，所有测试都支持它，存在低次数的部分证明，但也遇到了障碍，包括实数反例和模运算失败。
- 2026年7月，在三维空间中发现了显式的7次反例：一个多项式映射的雅可比行列式为常数-2，但三个不同的点映射到同一个输出，从而否定了三维及更高维度的猜想，而原始的二维情况仍悬而未决。